Un eterno y grácil bucle

• Cero es el número que corresponde al concepto no idéntico a sí mismo. El concepto no idéntico a sí mismo no es empírico, sino puramente lógico. Ningún objeto cae bajo tal concepto; su extensión es nula. 
• Uno es el número que corresponde al concepto idéntico a cero. Lo único que es idéntico a cero es el cero mismo. No es lógico decir “pero algo más podría ser igual a cero”, porque si fuera igual a cero, entonces sería cero. 
• Dos es el número que corresponde al concepto idéntico a cero ó uno. Sólo dos cosas cumplen esta definición: cero y uno.  
• [...]
• Infinito es el número que corresponde al concepto idéntico a cualquier número natural. 

Y así con todas la aritmética es lo que intentó hacer Frege, hasta que un día recibe una carta del tocahuevos de Bertrand Rusell.

Seguro que a muchos de vosotros os habrán tratado de explicar al menos una vez en vuestra vida la paradoja de Rusell. ¿Cuántos la entendisteis a la primera? ¿Cuántos después del examen de cálculo?. Yo la acabo de entender ahora. Es de estas veces que ves algo en internet, te picas, comienzas a tirar del hilo, y se te pasa una mañana entera de sábado dándole vueltas a la cabeza (la alternativa era ir a Akihabara a comprar un cargador de coche para la PDA).

Voy a tratar de explicarla… a mi manera.
 

Supongamos ahora que vamos a la cafetería de la universidad y compramos muchas sopas de miso, y las metemos en un recipiente grande. Lo que resulta… ¿Es idéntico a uno de sus elementos?. Sí. Muchas sopas de miso juntas es una gran sopa de miso. Lo mismo pasa si lo hacemos con bolas de arroz o el ramen.

Ahora nos vamos a la papelería y compramos muchos folios, y los juntamos. Lo que resulta… ¿Es idéntico a uno de sus elementos?. No. Un taco de folios no es un folio. Lo mismo pasa con los libros y los bolígrafos (aunque no con su tinta). 

Y así clasificamos todos los objetos de nuestro universo, la universidad.
 

Después de hacer la compra (y haber recibido muchas millas para viajar por pagar con la tarjeta de la aerolínea ANA), metemos las cosas en una gran estantería de dos baldas. Arriba, para que no se lo coman las ratas, ponemos la sopa de miso, el arroz, el ramen, y todas esas cosas que al agruparlas forman parte de (pertenecen a) sí mismas, además le ponemos a cada conjunto una pegatina verde. Abajo, los libros, los bolígrafos, y todas esas cosas que al agruparlas no forman parte de (no pertenecen a) sí mismas, además le ponemos a cada conjunto una pegatina roja. 

Ya tenemos todo nuestro universo bien clasificado, incluídos a profesores (pegatina roja), polvo de tóner de las impresoras láser (pegatina verde) y hasta los miles de pétalos de sakura que quedan por el suelo (pegatina roja). Bueno, nos falta algo aún. Las dos baldas de la estantería no tienen pegatina. Vamos a pensar qué color le ponemos. 

Toda la balda de arriba, donde está la sopa de miso, el arroz, el ramen, etc ¿pertenece a sí misma?. Pues parece que no porque una gran sopa de miso y un gran bola de arroz y un bol enorme de ramen y todo lo demás junto, no es lo mismo que una gran sopa de miso ó una gran bola de arroz ó un gran bol de ramen por separado. Y como no pertenece a sí mismo, le ponemos pegatina roja a la balda. 

A continuación vamos a la balda de abajo, donde están los profesores, los pétalos de sakura, el taco de folios, la pila de libros, el manojo de bolígrafos, etc, ¿pertenece a sí misma?. Pues parece que no porque un taco de folios, una pila de libros, un manojo bolígrafos, y todo lo demás junto, no es lo mismo que un taco de folios ó una pila de libros ó un manojo de bolígrafos por separado. Y como no pertenece a sí misma, le ponemos pegatina roja y firmamos sobre ella para indicar que la tarea está acabada. 
 

Ahora viene un amigo que está de visita por Japón y quiere ver cómo nos entretenemos por aquí. Y se pone a comprobar las pegatinas. Primero las verdes, y todo OK. Luego las rojas, y parece que va bien, hasta que llega a la pegatina firmada, cuando nos comenta: 

Al poner una pegatina roja en la balda de abajo dices que no pertenece a sí misma, por todo ese rollo de que un taco de folios y un manojo de bolígrafos todo junto no es igual a un taco de folios ó un manojo de bolígrafos por separado. Pero, al principio colocaste en la balda de abajo a todo lo que tiene pegatinas rojas (es decir, cosas que no pertenecen a sí mismas) entonces a la balda no le podrías poner esa pegatina roja firmada, porque entonces pertenecería a ella misma. 

Y si ahora me dices que lo arreglas cambiando esa pegatina roja firmada por una pegatina verde firmada, para indicar que pertenece a sí misma, pues andamos fastidiados también, porque recuerda que en la balda de abajo pusiste todo lo que tenía pegatinas rojas, y como ahora le has puesto una pegatina verde, pues no pertenece a sí misma.

La solución a esta paradoja es sencilla. De acuerdo, clasifiquemos las cosas dependiendo de si se contienen a sí mismas (sopa) o no se contienen a sí mismas (folios), pero no la liemos poniendo una pegatina, sólo en función de la balda (el cojunto) a la que pertenecen o dejan de pertenecer. 

Porque por el mismo motivo, no nos podemos referir a todas las cosas distintas a un taco de folios con una pegatina azul. Porque si bien pueden existir tacos de folios A4 blancos, tacos de folios A4 amarillos, tacos de folios A3 cuadriculados, etc, a los que no les pondríamos la pegatina azul, porque son tacos de folios, sí que se la deberíamos poner al conjunto de los tacos, porque no hay cosa que más fastidie que se te mezclen los folios blancos con los amarillos.

Es decir, como diría Bertrand Rusell:

No podemos definir un objeto en términos del conjunto al que pertenece

 

Volviendo al principio, y recordando que Frege quería definir las matemáticas desde un punto de vista lógico. ¿La balda de abajo es idéntica a sí misma?… pues ni sí ni no. Así que si no sabemos siquiera decir si hay algo idéntico o no a sí mismo se nos cae el concepto de cero. Y si el cero se nos cae, se nos caen en redondo todas las matemáticas construídas a partir de ahí.

Pero esto no es lo más heavy. Unos años después vendrían Gödel y sus teoremas de incompletitud, cuyo enunciado más relevante es que:

Ningún sistema consistente se puede usar para demostrarse a sí mismo.

Y esto se puede demostrar. Es decir, por medio de un sistema consistente como son las matemáticas o la lógica se puede demostrar que ellas mismas no puede demostrarse a sí mismas. ¡Toma ya!

Y de aquí surgen un montón de aplicaciones, como los lenguajes de programación, la inteligencia artificial, el libre albedrío, la biología a nivel molecular, la computación cuántica, etc. 

¿Queréis saber más?, pues hay un libro estupendo (ganó el premio Pulitzer) y muy entretenido de Douglas Hofstadter que se llama GEB (Gödel, Escher y Bach): Un eterno y grácil bucle. 
 

Fuentes:

Donde empecé a liarme: Why infinity is a number,
Por dónde continuaron mis derroteros: Historia de la lógica, Gottlob Frege, Teoría de conjuntos: la paradoja de Russell, Kurt Gödel, Teoremas de la Incompletitud, 
Y dónde acabé: Un eterno y grácil bucle.